1. a = r * sqrt( w^4 + alpha^2)

   여기에 w 대신 2 w, 그리고 alpha 대신에 4 alpha 를 대입하면

   r * sqrt ( (2w)^4 + ( 4 alpha )^2) = r * sqrt ( 16 w^4 +  16 alpha^2) = 4 r * sqrt( w^4 + alpha^2) 이 되어 원래 값의 4배가 됩니다. 

2. 그냥 acceleration 이라고 하면 linear acceleration 을 뜻하는 것입니다. 단위 시간당 linear speed 가 얼마나 변하느냐을 나타냅니다. motion 의 모습과 acceleration vector 자체는 형태상 닮아 있을 필요는 없습니다. 저 앞에서 배웠던 trajectory motion 만 하더라도 물체는 포물선을 그리면서 날아가지만 가속도는 포물선 형태가 아니라 지구중력 가속도, 즉 downward straight direction 밖에 없죠. angular acceleration 이란 단위시간당 angular speed 가 얼마냐 변하느냐는 것입니다. linear acceleration 을 얘기할 때는 기준점이 없어도 되지만 angular acceleration 을 얘기할 때는 반드시 기준점이 있어야합니다. 기준점이란 문제에서 언급하지 않아도 명백한 경우도 있고, 또는 with respect to .... 이런 표현과 함께 주어지는 경우도 있습니다. 학생이 어떤 움직이는 물체에 시선을 고정하고 바라보고 있다고 합시다. 그 물체가 움직임에 따라 학생이 그 물체를 계속 쳐다보기 위해서 고개를 돌려야하면 angular velocity 가 있는 것이고, 고개를 움직이지 않아도 그 물체를 계속 주시할 수 있으면 angular velocity 가 없는 것입니다. 물론 여기서는 학생이 기준점이 됩니다. 고개를 돌리지 않아도 계속 물체를 볼 수 있는 경우는 두 가지 밖에 없죠. 그 물체가 정확히 학생을 향해 달려오든가, 아니면 그 선상에서 학생으로 부터 멀어지든가. 학생이 그 물체를 쳐다보기 위해 고개를 돌린다고 했을때 고개 돌아가는 속도가 변하면 angular acceleration 이 있는 것입니다. 

3. Q23-16 이라는 문제는 없는데 아마 Q23-6 번 문제를 물어보려고 한 것 같네요. 이것은 mechanics 제일 처음에 배웠던 속도 구하는 것과 같은 것입니다. accelration 이 constant 일때, 즉 변하는 rate 가 일정해서 직선 그래프로 나타날 경우에는  (initial + final)/2 = avg 입니다. 

4. rigid body 에서는 모든 점들의 angular variable 이 같다는 것입니다. 그 rigid body 자체의 angular variable 들은 물론 얼마든지 변할 수 있죠. 회전목마를 타고 있는 사람들은 어디 타고 있는지 상관없이 서로 다 같은 angular velocity, angular acceration 등등 을 같는 것이고 회전목마 자체는 얼마든지 빨라지는 늦어지는 할 수 있습니다. 타고 있는 모든 사람들의 angular variable 들이 같이 늘고 줄고 할 뿐입니다. 

5. 그렇습니다. 밀도가 같은 물질인 이상 부피와 질량은 비례합니다.