안녕하세요, 유하림 강사입니다! 매우 좋은 질문을 해주셨습니다.

최대한 자세하고 친절하게 설명해보겠습니다! ^^

원래 y=f(x)에서 지금 두가지 상황이 펼쳐지고 있습니다.

#1. y=f(x) --> y=f(2x) 

이 상황이 의미하는 바는 무엇일까요? 

원래 (x,y)라는 점이 그래프 위에 있어야 하는데, 이제는 (2x,y)가 있는 상황이 되었습니다. 이 상황을 variable로 두고 해석하기가 쉽지 않아서, 숫자를 대입해서 이야기 해보겠습니다. 예를 들어, 원래 (10,5)라는 포인트가 그래프 위(on the graph)에 있었다고 해보겠습니다. 제가 (2x,y)라고 했다고 해서, (20,5) 가 그래프 위에 있는 것이 아니고, 여전히 (10,5)가 그래프 위에 있는 상황입니다. 그 얘기는 제가 x값에다가 5를 대입해야만, 즉, (2(5),5)로 적는다면, 해결이 되는 문제지요. 그 얘기는 무슨 얘기냐면, (10,5)에 있던 애들이, (5,5)로 줄어들었다는 의미랑 동일합니다. 그래서 (10,5)에서 (5,5)로 가는 상황이 발생한 것이지요. 말씀해주신대로, width가 절반! height는 그대로!

실상 두번째에서 헷갈리게 됩니다.

#2. y=f(x) --> y=2f(x)

왜 이 예제는 height를 두배로 바꾼 걸까요? 사실 y=2f(x)는 y/2=f(x)를 의미합니다. 숫자를 대입해서 얘기해볼까요? 원래 (10,5)가 y=f(x) 위에 있었다고 해보겠습니다. 그렇다면, 5=f(10)인 셈이지요? 그런데, y/2=f(x)도 똑같이 성립해야하니까, y값에 5 대신 10을 넣어야만, 10/2=5=f(10)이 성립하게 되는 셈입니다! 즉, 높이가 두배 되었다고 볼 수 있지요.

헷갈리시면, 쉽게 이렇게 보시면 좋습니다.

y=f(kx) 형태와 ky=f(x) 형태로 이해를 하시면, 어떤 때는 늘렸다가 어떤 때는 줄인다는 것의 차이가 없어지게 됩니다. 다만..이 방법의 문제점은 아무도 ky=f(x) 꼴로 적지 않는다는 것입니다. 그래서 기억하시기 편하시려면, x 앞에 붙는 애들은 직관의 반대로 진행하고, y 앞에 붙는 애들은 직관적으로 이해해주시면 좋습니다.

예시) y=f(3x) --> width가 기존 길이의 1/3배가 되었구나 (직관의 반대)  vs. y=3f(x) --> height가 기존 길이의 3배가 되었구나 (직관적 이해)

7번의 경우도 마찬가지입니다.

(a) y=f(1/2x) --> width가 기존 길이의 2배가 되었구나 (직관의 반대) 

숫자로도 이해해보겠습니다. 예를 들어, 이번에는 y=f(x)에 (4,3)이 들어간다고 생각해봅시다. 그렇다면, 3=f(4)가 되는 상황이지요? 자, 3=f(8/2)=f(4)가 되어야만 하니까, (8,3)이 새로운 그래프 위에 있게 됩니다. 살펴보니, (4,3)에서 (8,3)이 되었습니다. height는 건드리지 않은 상태에서, width가 2배가 되었습니다! ^^

(b) y=1/2f(x) --> height가 기존 길이의 1/2배가 되었구나 (직관적 이해)

이 부분도 동일한 예제의 숫자로 이해해보겠습니다. 예를 들어, y=f(x)에 (4,3)이 들어간다고 생각해봅시다. 그렇다면, 3=f(4)가 되는 상황이지요? 자, 2(3/2)=3=f(4)가 되어야만 하니까, (4,3/2)이 새로운 그래프 위에 있게 됩니다. 살펴보니, (4,3)에서 (4,3/2)이 되었습니다. width는 건드리지 않은 상태에서, height가 1/2배가 되었습니다. 음.. 다시 한번 말씀드리자면, y=1/2 f(x)는 원래, 2y=f(x)니까, y값에 넣어줘야 하는 애들이 어쩔 수 없이 절반이 되어야만 기존 pair들을 성립할 수 있다는 조건이 생기는거지요(말을 적고 나니 너무 어려울수도 있겠습니다..)

다시 한번 말씀드리지만, x앞에 있는 숫자들은 width를 직관의 반대 방향으로 건드립니다. f(x) 앞에 있는 숫자들은 height를 직관적 방향으로 건드립니다. 

매우 길게 설명해서 죄송합니다만, 설명이 되었길 희망합니다!

열심히 공부하시고, 화이팅 하세요!