Integer2 modulo 11번, 12번 질문드립니다.

11번에서는 N 이 mod5와 mod9일때 각각 ≡4, ≡0 이라고 구하셨고, 그다음에 선택사항 (C)에 9뿐만이 이 조건을 만족해서 C를 고르셨습니다. 

그렇다면 선택사항이 주어지지 않았다면은 풀지 못할수도 있는 문제인가요? (AIME 에서도 이런 문제가 나오는지 궁금합니다. 나온다면 어떻게 해야할지)

12번은 

n ≡ S(n) mod9

n + 1 ≡S(n+1) mod9

이여서 

1 ≡ S(n+1) - S(n) mod9

이므로 답D를 고르셨습니다.

그러나

n ≡ S(n) mod3 이므로

1 ≡ S(n+1) - S(n) mod3

또한 만족합니다. 

그러나 이렇게된다면 1239는 답이 될수 없습니다.

modulo 3으로는 왜 풀어지지 않는것 인가요?

설명 부탁드립니다!!