1. Hall voltage 의 식은 같아야 합니다. Ez 의 sign 에 따라 positive 가 되기도 하고 negative 가 되기도 합니다. 이 Hall voltage 의 극성을 보고 majority carrier 가 negative charge 인지 (electron) 또는 positive charge 인지 (hole) 구별하게 됩니다. 이 문제의 설명에서는 Ee 는 항상 양수(magnitude)이고 Ez 는 양수이기도 하고 음수이기도 합니다. Electric field 가 항상 양수여서가 아니라 문제의 설명의 편의상 그렇게 정한 것 뿐입니다. 

2. Vector sum 을 연속적으로 한 것이기 때문에 그렇습니다. A -> C -> B 이렇게 움직인 벡타들의 합 (resultant) 은 A -> B 와 같습니다. A 에서 C 를 거쳐서 B 로 갔다, 그럼 너는 결국 어디서 어디로 간거니? 하고 물으면 A 에서 B 로 간 것이라고 대답하겠죠. A -> C1 -> C2 -> B 도 결과는 마찬가지이고 A -> C1 -> C2 -> C3 -> B 도 마찬가지이고 A 와 B 사이를 무수한 조각으로 나눠서 더해도 마찬가지 입니다. 여기 있는 line integration 이 바로 A 에서 B 로 가는 임의의 path 를 무지하게 작은 조각들로 나눈다음 다 더한것입니다. 어떤 path 를 택하든 상관없습니다. 시작점과 끝점만 중요할 뿐입니다. 

3. 물론입니다.  B field , E field 막론하고 field 가 negative work 을 한다는 것은 potential energy 가 올라간다는 것을 의미합니다. sign 이 헷갈리면 그냥 다 무시하고 아무렇게 계산한다음 마지막 결과를 가지고 이게 potential energy increase 의 결과를 가져왔는지 decrease 의 결과를 가져왔는지 보고 붙여도 됩니다. 

4. v 에서 r 로 감아야 하는 이유는 이 식 자체가 v X r 즉,  v vector 와 r vector 의 cross product 이기 때문입니다. Biot-Savart 법칙은 Newton 의 중력법칙, Coulomb 의 법칙 등과 마찬가지로 실험식입니다. 관측을 했더니 이런 방향으로 field 가 생기더라는 것입니다. 그러니 v X r 로 식이 되어있다면 그냥 따라야합니다. 

5. 이 문제의 Collegeboard scoring guideline 에는 "No explicit mention of the electric force was required. The focus of the question is on magnetic effects. No electric force acts on the electron because there is no electric field present." 이렇게 되어 있습니다. 전류가 흐르는 wire 에서 밖에서 걸어주는 electric field 는 wire 안에만 존재하고 전류가 흐르는 방향과 일치합니다. wire 바깥에 있는 charge 가 이 field 에 의한 electric force 를 받을 이유가 없습니다. wire 안에서 전기 전도에 기여하는 carrier, 즉 지나가는 개개의 electron 도 charge 이고 걔네들에 의한 electric force 가 있지 않냐고 주장할 수도 있겠지만 현실적으로 negligible 합니다.