spherical symmetry 가 있는 경우 electric field 는 언제나 원점에 대해서 1/r^2 모양이거나 -1/r^2 모양입니다. 구간 별로 끊더라도 항상 모양은 이와 같습니다. 일단, total charge 는 (d) 에서 구했고 이것이 + 2.2 x 10^-9 C, 즉 positive 이니까 shell 들 바깥의 electric field 의 방향은 raidally outward 이고, 즉, positive 이고 두 shell 바깥에서는 1/r^2 모양으로 떨어지죠. 두 shell 사이에서는 바깥쪽 shell potential 이 +100V, 안쪽 shell potential 이 -100 v 이므로 electric field 의 방향은 higher potential 에서 lower potential 의 방향, 즉 radiall inward 라서 negative 가 되겠고, 따라서 -1/r^2 모양입니다. 안쪽 shell 보다 안쪽, r < 0.10 m 인 곳에는 electric field 는 물론 zero 가 되겠구요. 이것까지만 알면 electric field 모양은 대략 그릴 수 있겠고, collegeboard 가 요구하는 답도 여기까지 입니다. scoring guideline 에 보면 vertical labeling 은 해도 그만 안해도 그만이라고 되어 있죠.
electric field graph 는 끊어져도 (불연속) 이어도 상관없지만, electric potential 은 위치에 대해서 연속함수이어야 하기 때문에 boundary condition 을 고려를 해서 이어줘야합니다. 일반적으로 energy 와 연관된 물리량은 위치에 대한 연속함수라고 알고 있어도 좋습니다. 두 shell 바깥은 1/r 로 떨어질테고, r = 0.20 m 인 바깥쪽 shell 의 potential 은 주어진대로 100 V 입니다. r = 0.10 m 인 안쪽 shell 의 potential 은 -100 인데, 이것은 electric field 를 position 에 대해 적분해서 얻게 되는 값입니다. E = - dV/dr 이기 때문이지요. 즉, -100 = 100 - int(E, r, 0.20, 0.10) 입니다. int(E, r, 0.20, 0.10) 은 계산기에 봤음직한 문법인데, E field 를 r 에 대해서 0.20 에서 0.10 으로 끌고 들어오면서 적분한다는 뜻입니다. 두 shell 사이의 원점에서부터의 거리가 r1 인 곳 까지라면 (0.10 < r1 <0.20), V(r1) = 100 - int(E, r, 0.20, r1) 이 되겠지요. 두 shell 사이의 E 는 negative 이고, 적분구간의 순서를 0.20 에서 0.10 으로 거꾸로 했으니 또 negative sign 이 붙고, int 앞에 또 negative sign 이 있으니, negative sign 이 세개가 붙어서 전체적으로 negative 가 됩니다. 100 V 에서 - 100 까지로 감소하려면 당연히 그래야겠죠. r 이 줄어들어서 0.10 m 로 가까이 갈 수록 E 의 절대값이 커지니 V 가 점점 심하게 추락하게 되고 그래서 collegeboard solution 에 있는 것 처럼 concave down 의 모습이 되어 r = 0.10 m 에서 V = -100 V 로 연결되게 됩니다.
E field 그릴 때 label 숫자는 상관없다고 했지만, 그래도 궁금하다면, 다음과 같이 하면 됩니다.
바깥 shell r = 0.20 에서 potential 구할 때 "k(Qi+Qo)/0.20 = 100" (a) 이니까 그곳에서의 electric field 는 k(Qi+Qo)/(0.20)^2 = 100/0.20 = 500 N/C 이 됩니다. 그래서 E graph 에서 500 부터 시작해서 1/r^2 으로 떨어지는 것입니다. 한편, r = 0.10 인 안쪽 shell 에서의 potential 은 -100 V 이므로, "kQi/0.10 + kQo/0.20 = -100" (b) 이라고 쓸 수 있습니다. 안쪽 shell 이 갖고 있는 charge 가 주는 potential 과 바깥쪽 shell 이 주는 charge 가 주는 potential 을 더한 것이 총 potential 인데, r = 0.10 에서는 바깥쪽 shell 의 안쪽이므로 바깥쪽 shell 이 가지고 있는 charge 가 주는 potential 은 그 shell 에서의 potential 과 같은 constant 값이 되기 때문입니다. 결국 위에 쓴 (a), (b) 식에서 kQi/0.10 = -400 을 얻을 수 있고, kQi/0.10)^2 = -4000 N/C 가 되어 solution 의 graph label 과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
