안녕하세요? 유하림 강사입니다.

답변입니다.

자세하게 설명을 해보겠습니다.

y=a*b^(x-c)+d에서

a는 vertical scale이라고 해서, a가 1보다 클 경우, 위쪽으로 올라가는 그래프가 됩니다. 만약 0<a<1이라면, vertical shrinking이 일어나겠지요?

만약, a<0보다 작다고 한다면 어떨까요? a가 0보다 작다면, a=-1*a' 으로 이해할 수 있습니다. 여기서 a'은 0보다 큰 숫자가 되겠지요? 앞의 -1은 x축 반사(reflection about the x-axis)가 일어나게 됩니다. 그렇다면, 우선 y=b^{x-c}+d를 x축 반사해두고, a배만큼 vertical stretch(or shrink)를 진행한다고 보시면 됩니다.

예를 들어보도록 합시다. 

1) y=2*3^x의 그래프는 y=3^x의 그래프 높이가 두배씩 증가한 그래프가 됩니다. y-절편(y-intercept)는 2가 되겠지요? 그 이유는 원래 높이가 1인 지점에서 찍혔던 (0,1)이 높이가 2배가 되었으니, (0,2)가 된겁니다. 비슷하게, 원래 (1,3)에서 찍혔던 점이 (1,6)에서 찍히게 됩니다.

2) y=-2*3^x의 그래프는 y=3^x의 그래프를 우선 x축에 대하여 반사를 시킨 이후, 높이를 두배 늘립니다. 즉, y=-3^x는 x축 아래로 내려가는 그래프가 되지요? 그러면, y절편을 보면, (0,-1)이 될텐데, y=-2*3^x의 그래프는 (0,-2)를 지나갑니다. 높이가 아래쪽으로 두배 늘어나게 되는 거지요.

자, exponent에 올라와있는 c는 무조건 horizontal translation입니다. 예를 들어봅시다.

y=3^{x-3} 그래프는 y=3^x를 오른쪽으로 3칸 움직이는 것이 되겠지요. 역으로, y=3^{x+3} 그래프는 y=3^x를 왼쪽으로 3칸 움직이는 것이 됩니다. 

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복리에 대한 개념 설명해보겠습니다.

은행은 연간금리를 가지고 있습니다. 예를 들어, 연간금리를 100%를 준다생각해봅시다. 이건 무슨 의미냐면, 제가 100만원을 은행에 넣으면, 정확히 1년후에 200만원을 돌려주겠다는 의미입니다.

다음과 같이 시나리오를 여러가지 생각해봅시다.

은행 A : 연간 금리를 100%로 하고, 1년에 한번만 복리(compound interest rate)를 적용하는 은행

은행 B: 연간 금리를 100%로 하되, 1년에 4번씩(분기별로) compound interest rate를 적용하는 은행

은행 C : 연간 금리를 100%로 하되 1년에 12개월씩(월별로) compound interest rate를 적용하는 은행

은행 A의 경우, 100만원을 넣으면, 정확하게 200만원을 돌려줍니다. 식은 이렇게 나오지요. 100(1+1)^1=200.

그러나 은행 B의 경우, 100만원을 넣게 되면, 100(1+1/4)^4=244.140625 만원을 돌려줍니다. 연간 금리가 100%라고 했으니, 분기별 금리는 4로 나누면 25%씩 적용해서 진행하는 방법이 복리(compound interest rate)입니다. 은행 C를 볼까요? 은행 C는 100만원을 입금하게 되면, 100(1+1/12)^12=261.3035만원이 됩니다. 연간 금리가 100%라고 했으니, 12개월로 끊으면, 매달 대략 8%의 금리를 적용받게 되는 셈이지요.

자, 이걸 조금 더 세분화해서, 매순간 복리를 매기게 되면 어떻게 될까요? 즉, lim_{x-->\infty} (1+1/x)^x를 계산해보면, 놀랍게도 Euler number가 나오게 됩니다. 쉽게 생각해보면, 매순간 복리를 매기면, 끊김없이 continous 하게 compound interest rate를 적용하게 되는 것이지요.

그렇게 계산을 해보면, 이렇습니다. 100만원을 입금하면 1년후 271.828만원 정도를 받게 됩니다. Euler number는 2.71828정도가 되는 숫자인데, 이 숫자가 정확하게 찍혀서 나오게 되는거지요.

그래서 continous compound interest rate관련된 문제가 나오면, e를 활용하게 되는 이유가 위의 이유와 같습니다!

감사합니다.