안녕하세요? 유하림 강사입니다.

#3 풀이입니다.

질문 중에 약간 오류가 있어서, 다시 statement를 적어드립니다. 

유리근을 p/q라 하면, p는 factors of constant term이 되고, q가 factors of leading coefficient가 됩니다. (질문에는 q/p라고 적혀있어서, 정정해봅니다.)

자, p/q를 f(x)의 유리근이라 해봅시다. 그리고, p와 q를 서로소라고 생각합시다. p와 q가 만약 서로소(coprime)이 아니라면, 약분해서 서로소로 만들어줍니다. p/q가 근이라고 했으니, f(p/q)=a_n(p/q)^n+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+...+a_0=0이 되겠지요? 

여기에다가 q^n을 곱해볼까요? 곱해보면,

a_n*p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+...+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0

이 나타납니다. 이 위의 식을 modulo p로 봅시다. 각 항들을 p로 다 나눠서, 나머지들을 적어보겠다는 목적을 가지고 있습니다. 그럼, 앞에 있는 식들이 모두 다 나눠지는데 비해서, 맨 마지막 항만 a_0q^n이 살아남습니다. 우변을 보면, 0을 p로 나눠도 0이 나오지요? 즉, a_0q^n은 p로 반드시 나눠져야만 하는데, q와 p는 서로소다보니깐, a_0을 p가 나눠야만 합니다. 즉, a_0은 p의 배수가 되어야 되어야합니다. 이 말은 p는 factors of a_0(=constant term)

같은 이유로, 위의 식을 modulo q를 진행해보면, 좌변(left-hand side)에서 q가 하나라도 살아있는 식은 모두 0(mod q)가 될 것이고, 우변(right-hand side)에 있는 0은 0(mod q)가 됩니다. 유일하게 살아남은 a_n*p^n도 q로 나눠져야만 하지요. 그런데, p와 q는 서로소이므로, q는 a_n을 나눠야만 합니다. 즉, q가 factors of leading coefficient(-a_n)가 되지요. 

#6 풀이입니다. 

Bound of real zeros는 한국 수능 수학을 위주로 공부할 때 보지 않는 부분입니다만, AMC나 AIME, 혹은 USAMO에도 등장하는 개념 중에 하나입니다. AP Calculus에는 나오지 않습니다. 

우선, 근으로 될 수 있는 x값이 rational root로 나오면서 |x|<1 or |x|=1인 경우에는, 당연히 bound가 1이 됩니다. 그런데, 문제는 근으로 나올 수 있는 x값이 |x|>1 인 경우입니다. 이 때는, 우리 예제를 통해서 봅시다.

|x|>1이라는 뜻은 a>b라면, |x|^a>|x|^b를 의미합니다. 6번의 첫 문제를 봅시다. 

x^4=-11x^3+12x-26이지요?

|x|^4=|-11x^3+12x-26|< or = |x|^3(|-11|+|12|+|-26|)가 됩니다. 당연한 inequality이지요?

때문에, |x|^3으로 양변을 나눠주면, |x|< or =49가 됩니다. 자, 이렇게 되면 선택할 수 있는 숫자가 1이거나 49일텐데!

이것보다 혹시 더 작아질 수 있나 고민을 해보니, 1+max{|-11|, |12|, |-26|}을 다른 bound로 선택한다고 수업 중에 설명을 했는데, 이 부분은 Precalculus 수준에서 설명할 수 없는 Cauchy Bound라고 부릅니다. Cauchy Bound proof는 대학교 수학에서 진행하게 됩니다. 

수업에서 말한 것처럼 그냥 사용만 할 줄 알면 되는데, 학교에서 전혀 들어보지 못했다면, 잊어도 되는 부분입니다.

#9 풀이입니다.

9번의 경우, leading coefficient에 대한 언급이 없으므로, 바뀔 수 있다고 적어주는 것이 맞지만, 학교에서 나오는 질문에 leading coefficient가 1이어야한다는 조건을 내거는 경우가 대부분입니다.

감사합니다.