안녕하세요!!

우선 이 문제를 보다 자세히 이해하려면 3가지 mass distribution에 대해 이해를 하고 계셔야 합니다!

1) 1 Dimension Mass Distribution: 1차원 길이에 mass가 분포해 있을 경우, linear mass density λ (단위 kg/m)에 길이를 곱하면 mass를 계산할 수 있습니다. 따라서, m = λ*L 입니다.

2) 2 Dimension Mass Distribution: 2차원 넓이에 mass가 분포해 있을 경우, area mass density σ (단위 kg/m^2)에 넓이를 곱하면 mass를 계산할 수 있어서, m = σ*A입니다.

3) 3 Dimension Mass Distribution: 3차원 부피에 mass가 분포해 있을 경우, volume mass density ρ (단위 kg/m^3)에 부피를 곱하면 mass를 계산할 수 있어서, m=ρ*V입니다.

따라서 Rotational inertia를 계산할 때에 mass distribution에 따라서 I = ∫r^2*dm를 변경시키는 방법이 다릅니다.

1) 1차원: I = ∫r^2*dm 에서 dm=λ*dL (small mass = density * small length)을 대입하여  I = ∫r^2*dm = ∫r^2*(λ*dL) 이 됩니다.  

2) 2차원: 비슷하게 dm = σ*dA 로 표현할 수 있어서 I = ∫r^2*dm = ∫r^2*(σ*dA) 이 됩니다.  

3) 3차원: 비슷하게 I = ∫r^2*dm= ∫r^2*(ρ*dV) 이 됩니다.   

이 문제에서는 disk의 두께가 얇아서 mass가 2 dimension (area)에 분포해있다고 가정하고 문제를 풀면 됩니다 :)

만일 disk의 두께가 얇지 않을 경우에는 mass가 3 dimension (Volume)에 분포해 있을거에요. 

그 경우에는 Rotational inertia I = ∫r^2*dm = ∫r^2*(ρ*dV)로 식을 변경할 수 있습니다. 

여기서 density ρ는 전체 mass 나누기 전체 부피로 계산하지면 됩니다. 즉, ρ = M / (πR^2*h) 이 됩니다.

dV는 아래 그림에서 cylinder를 작은 조각으로 나눴을 때 색칠한 cylindrical shell의 small volume을 표현하고 있습니다. 

dV를 표현하는 방법이 두가지가 있는데, cylindrical shell을 펼쳤을 때 side를 다 곱한다 생각하고 dV = 2πrh*dr 이렇게 구하셔도 되고,

혹은 cylinder의 부피 식 V=πr^2*h을 r에 대해 미분 한 다음 (dV/dr = 2πrh), dr을 양쪽에 곱해서 dV = 2πrh*dr를 유도하는 방법이 있습니다 :)

이후에는 적분 식 계산하시면 됩니다!!

말로 설명하면 이해가 어려울 수 있어 풀이는 아래 그림으로 첨부했으니 참고해주세요 :)

보시다싶이, height h는 중간에 캔슬돼서 사라집니다...!!!! 신기하죠?!

따라서, 두께가 얇든 두껍든 상관 없이 높이랑은 무관하답니다!

도움되셨기를 바랍니다 :)